Solutions

i) $f(x)=P(s(x))$.

ii) $f(x)=s(P(x))$.

iii) $f(x)=s(S(x))$.

iv) $f(x)=S(s(x))$.

v) $f(t)=S(s(t))$.

vi) $f(u)=s(P(u)+P(S(u)))$.

vii)

$$f(y)=(s\circ s\circ s\circ P\circ P\circ P\circ s)(y).$$

viii)

$$f(a)=(P\circ s\circ s)(a)+s(S(a))+P(s(S(a)+s(a))).$$